利用极坐标解

利用极坐标解

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(1)把x^2/a^2+y^2/b^2=1转化为r^2cos^2/a^2+r^2sin^2/b^2=1
整理为b^2cos^2+a^2sin^2=a^2b^2/r^2
因为cos^2(x+派/2)=sin^2(x),sin^2(x+派/2)=cos^2(x)
所以有b^2cos^2+a^2sin^2=a^2b^2/r1^2
b^2sin^2+a^2cos^2=a^2b^2/r2^2
相加得到a^2+b^2=a^2b^2(1/r1^2+1/r2^2)
整理得到,1/r1^2+1/r2^2=1/a^2+1/b^2为定值
(2)S=(1/2)r1*r2可转化为求(1/r1)*(1/r2)的最值问题
不妨假设1/r1=m,1/r2=n,1/a^2+1/b^2=t
有m^2+n^2=t,求mn最值
y=mn=m根号(t-m^2)
y^2=-(m^2-t/2)^2+t^2/4,由于m取值范围是(1/b,1/a)
所以y^2最大值是t^2/4,最小值是1/(a^2b^2)
所以S的最大值是ab/2,最小值是a^2b^2/(a^2+b^2)

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