求数学题一道！高三文科的

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解决时间 2021-05-22 02:07

提问者网友：献世佛
2021-05-21 19:40

设f（x）=cosx÷cos﹙30°－x﹚，求f﹙1°﹚＋f﹙2°﹚＋f﹙3°﹚＋…＋f﹙59°﹚的值

最佳答案

五星知识达人网友：怀裏藏嬌
2021-05-21 20:16

f（1）+f（2）+…+f（59）=（f(1)+f(59)）+(f(2)+f(58))+……+(f(29)+f(31)）+f(30);
对于任意的i=1,2,……29,有:
f(i)+f(60-i）
=cosi/cos(30-i）+cos（60-i）/cos(-30+i）
=（cosi+cos（60-i))/cos(30-i)
=[cos(30-(30-i))+cos（30+(30-i))]/cos(30-i)
=[cos30cos(30-i)+sin30sin(30-i)+cos30cos(30-i)-sin30sin(30-i)]/cos(30-i)
=2cos30cos(30-i)/cos(30-i)=2cos30°；
所以：
f（1）+f（2）+…+f（59）=（f(1)+f(59)）+(f(2)+f(58))+……+(f(29)+f(31)）+f(30)=59cos30°=59根号3/2;

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1楼网友：等灯
2021-05-21 22:47

观察可得

第x项与第60-x项之和为（x不等于30）

(cosx+cos(60-x))/cox(30-x)

和差化积可得

cosx+cos(60-x)=2*(cos30)*cos(30-x)

故第x项(x不等于30)为:

√3

对于第30项，有

f(30)=(√3)/2

所以，除去f(30)有24对，和为24√3，也即(48√3)/2

综上，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(59)=(59√3)/2

2楼网友：过活
2021-05-21 21:34

f（1）+f（2）+…+f（59）=（f(1)+f(59)）+(f(2)+f(58))+……+(f(29)+f(31)）+f(30); 对于任意的i=1,2,……29,有: f(i)+f(60-i） =cosi/cos(30-i）+cos（60-i）/cos(-30+i） =（cosi+cos（60-i))/cos(30-i) =[cos(30-(30-i))+cos（30+(30-i))]/cos(30-i) =[cos30cos(30-i)+sin30sin(30-i)+cos30cos(30-i)-sin30sin(30-i)]/cos(30-i) =2cos30cos(30-i)/cos(30-i)=2cos30°；所以： f（1）+f（2）+…+f（59）=（f(1)+f(59)）+(f(2)+f(58))+……+(f(29)+f(31)）+f(30)=59cos30°=59根号3/2;

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