抽象函数

若定义（0，+∞）f(x)满足

（1）f(x)+f(y)=f(x*y)

(2) 当0＜x＜1时，f(x)＞0

(3) f(2)=-1则

1.求f(1) f(1/2) --赋值法

2.证明：x＞1时，f(x)＜0

3.判断并证明f(x)在（0，+∞）上的单调性

4.解不等式f(2x-1)＞2

请写出详细过程！

1)f(x)+f(y)=f(xy)

令x=y=1,则f(1)+f(1)=f(1×1)=f(1), ∴f(1)=0

令x=2,y=1/2,则f(2)+f(1/2)=f(2×1/2)=f(1)=0, ∴f(1/2)=-f(2)=1

2)对任意x>1,有0<1/x<1

f(x)+f(1/x)=f(x×1/x)=f(1)=0, ∴f(x)=-f(1/x)

由题意 f(1/x)>0

∴f(x)=-f(1/x)<0,即f(x)<0

3)对于任意x1>x2>0,有x1/x2>1, ∴f(x1/x2)<0

由2)可知f(x2)=-f(1/x2),即-f(x2)=f(1/x2)

∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)<0

∴f(x1)<f(x2),即f(x)在(0,+∞)上单调减

4)定义域:2x-1>0, ∴x>1/2

∵f(x)是减函数,f(2x-1)>2=f(1/2)

∴2x-1<1/2

∴x<3/4

综上,1/2<x<3/4,即解集为(1/2,3/4)

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