已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若x,y属于【-1,1】,x+y不等0,x+y分之f(x)+f(y) 大于0

1。证明f(x)在【-1,1】上是增函数。
1·解不等式f(x+0.5)小于f(1-x）
2·若f(x）小于等于t的平方-2at+1对所有x属于【-1，1】且a属于【-1，1】恒成立，求实数t的范围

1、
[f(x)+f(y)]/(x+y)>0
则：[f(x)+f(-y)]/(x-y)>0 ①
因为f(x)是奇函数，所以：f(-y)=-f(y)
①式化为：[f(x)-f(y)]/(x-y)>0
不妨令-1≦x<y≦1，则：x-y<0，那么显然有：f(x)<f(y)
所以，f(x)在【-1,1】上是增函数。

2、
f(x)是定义在【-1,1】上递增的函数
所以：
-1≦x+0.5≦1，得：-1.5≦x≦0.5；
-1≦1-x≦1，得：0≦x≦2；
x+0.5<1-x，得：x<0.25
综上，不等式的解为：0≦x<0.25

3、
f(x)≦t²-2at+1对所有x属于【-1，1】且a属于【-1，1】恒成立
因为f(x)是【-1,1】上的增函数
所以，f(x)在【-1,1】上的最大值为f(1)=1
申通：1≦t²-2at+1对a属于【-1,1】恒成立
即：2at-t²≦0对a属于【-1,1】恒成立
这是关于a的一次函数，只要区间端点满足即可
所以：
-2t-t²≦0，得：t≦-2或t≧0；
2t-t²≦0，得：t≦0或t≧2；
求交集得：t≦-2或t≧2或t=0
综上，t的取值范围是：t≦-2或t≧2或t=0

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1、设x>y,则x-y>0,f(x)-f(y)/(x-y)>0,所以f(x)-f(y)>0,所以是增函数； 1·由增函数的性质，不等式可转化为f(x+0.5)小于f(1-x） x+0.5小于1-x 2x小于1-0.5 x小于0.25 2·由增函数的性质，在【-1，1】上最大值为f(1)=1。所以（t的平方-2at+1）在a属于【-1，1】上大于等于1。 t(t-2a)>=0 显然t=0是其中一个解 当t>0时t>=2a，又a属于[-1,1]，所以t>=2 当t<0时t<=2a，又a属于[-1,1]，所以t<=-2

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有 　　f(m)+f(n) 　　m+n ＞0． 　　（1）证明函数f（x）在其定义域上是增函数； 　　（2）解不等式f(x+ 　　1 　　2 )＜f(1-x)． 　　（1）证明：令m=x1，n=-x2，且-1≤x1＜x2≤1， 代入 　　f(m)+f(n) 　　m+n ＞0得 　　f(x1)-f(x2) 　　x1-x2 ＞0． 　　∵x1＜x2 　　∴f（x1）＜f（x2） 　　按照单调函数的定义，可知该函数在[-1，1]上单调递增． （2）由（1）可得原不等式等价于 　　-1≤x+ 　　12≤1-1≤1-x≤1x+ 12＜1-x ∴0≤x＜ 1 4

1，令 -1<x<y<1, 则有 x-y<0,（f(y）-f(x)）/(y-x)>0, 所以f(y）-f(x)>0,所以是增函数； 2，因为函数f(x)是增函数，由f(x+0.5)小于f(1-x）得 x+0.5<1-x 所以x<1/4 3，由增函数的性质，在[-1，1］上最大值为f(1)=1。所以tˆ2-2at+1≥1 且a属于[-1，1］ 所以tˆ2-2at≥0 自己结合a属于[-1，1］求出t的范围

证明： （1）令-1≤x1<x2≤1，那么x2-x1>0 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) 那么[f(x2)+f(-x1)]/(x2-x1)>0 那么f(x2)>f(x1) 所以f(x1)在[-1,1]上是增函数 （2） 解不等式f(x+0.5)<f(1-x） 那么等价于： -1≤x+0.5≤1 -1≤1-x≤1 x+0.5＜1-x 解方程祖有： 0≤x＜0.25 （3） 要使.f（x）小于等于t2-2at+1 对所有x€【-1，1】，a€【-1，1】恒成立 只需f(x)的最大值f(1)=1≤t²-2at+1 t²-2at≥0 t(t-2a)≥0 (1) -1≤a<0时，t≤2a或t≥0，此时的一切a 都成立，要t≤-2或t≥0 (2) a=0时，t∈R (3)1>=a>0时，t≤0或t≥2a，此时的一切a 都成立，要t≤0或t≥2 综上t的范围是:t≥2或t≤-2

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