求所有的正整数x，y，使x²+3y,y²+3x均为完全平方数。

求所有的正整数x，y，使x²+3y,y²+3x均为完全平方数。
要过程
80分悬赏

首先x=1,y=1是解。
除此外，若有x=y的话，则x(x+3)=(x+1)^2 解得 x=1 矛盾 【注，∵x^2 < x(x+3) < (x+2)^2，x(x+3)要是一个平方数一定会等于(x+1)^2，这个思路贯穿了整个解法。】

所以x≠y,不妨设x>y
则x^2+3y 即2x+1=3y 若y=1，x=1矛盾，∴y>=2 ∵x=(3y-1)/2 为整数 ∴y>=3
∴y^2+3x=y^2+1.5(3y-1)=y^2+4.5y-1.5 ∴令y=2k+1
y^2+3x=(4k^2+4k+1)+9k+3=(4k^2+13k+4)<(2k+4)^2
①若(4k^2+13k+4)=(2k+3)^2 解得 k=5 即y=11,x=16满足
② 若(4k^2+13k+4)=(2k+2)^2 解得k=0,y=1,x=1矛盾。

综上，解有3个，分别为{x=1,y=1}、{x=11,y=16}、{x=16,y=11}

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