已知数列f(n),n∈正整数,若f(n)+f(n+1)+f(f(n))=3n+1,f(1)≠1,则f(6)=

已知数列f(n),n∈正整数,若f(n)+f(n+1)+f(f(n))=3n+1,f(1)≠1,则f(6)=

由于题目存在f(f(n))，所以判定f(n)∈正整数。
由题得f1+f2+ff1=4,
4=f1+f2+ff1≥f1+1+1，
所以f1≤2，
因为f(1)≠1,
所以f1=2,
所以f2=1，
由题得f2+f3+ff2=7,
所以f3=4,
由题得f3+f4+ff3=10,
所以f4=3,
由题得f4+f5+ff4=13,
所以f5=6,
由题得f5+f6+ff5=16,
所以f6=5,
通项公式是
n∈奇数时，fn=n+1。
n∈偶数时，fn=n-1。

设f(n)=an+b
则有：
f(n+1)=a(n+1)+b=an+a+b
f(f(n)=f(an+b)=a(an+b)+b=a^2 *n+ab+b
所以，有：
f(n)+f(n+1)+f(f(n))=an+b+an+a+b+a^2 *n+ab+b=(a^2+2a)n+a+ab+3b=3n+1
所以有：
a^2+2a=3 （1）
a+ab+3b=1 （2）
解（1）得:
a=1或a=-3
如果a=1则b=0
f(n)=n
f(1)=1与题意矛盾，所以a=-3
代入（2）得到：
-3=1
仍不成立，所以本题无解。

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