已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M，N两点．①求实数k的取值范围；②

担订曹寡丨干查吮肠经 已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M，N两点．①求实数k的取值范围；②求线段MN的中点轨迹方程；③求证： AM ? AN 为定值；④若O为坐标原点，且 OM ? ON =12 ，求k的值．

①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d= |2k-2| 1+ k 2 =r=1，化简得3k 2 -8k+3=0，解得：k= 4± 7 3 ，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为： 4- 7 3 ＜k＜ 4+ 7 3 ；
②把直线方程与圆方程联立得 y=kx+1 (x-2) 2 + (y-3) 2 =1 ，消去y得到（1+k 2 ）x 2 -4（1+k）x+7=0
设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），则x 1 和x 2 为（1+k 2 ）x 2 -4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x= x 1 + x 2 2 = 2(1+k) 1+ k 2 ，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k 2 ）y 2 -（2+4k+6k 2 ）y+12k 2 +4k+1=0，
得到纵坐标y= y 1 + y 2 2 = 1+2k+3 k 2 1+ k 2 ，
则线段MN的中点轨迹方程为： x= 2(1+k) 1+ k 2 y= 1+2k+3 k 2 1+ k 2 ；
③ AM =（x 1 ，y 1 -1）， AN =（x 2 ，y 2 -1），所以 AM ? AN =x 1 x 2 +（y 1 -1）（y 2 -1）=（1+k 2 ）x 1 x 2 =7为常数．
④ OM ? ON =x 1 x 2 +y 1 y 2 = 7 1+ k 2 + 12 k 2 +4k+1 1+ k 2 =12，即12k 2 +4k+8=12（1+k 2 ），解得k=1．

(1)由题意得：l:  y=kx+1，代入圆的方程并整理得一元二次方程  （k+1）x2-4（k+1）x+7=0，此方程有两个不相等的实数根，所以[-4(k+1)]^2-4*7(k+1)>0,解得k<-1或k>3/4，

（2)因m,n共线，向量am,an的夹角=0，am*an=|am|*|an|*cos0=|am|*|an|,过a作圆的切线at，t为切点，

   则 |am|*|an|=|at|^2,又a为定点，圆为定圆，所以at的长是定值，所以向量am与an的内积是定值。

（3）

因o（2，3），又|at|^2=12,半径r=1，|oa|^2=|at|^2+r^2,所以得：|oa|^2=12+1

好困呀，咱们明天再见。

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