在△ABC中,若cos(A-B)=2cosAcosB,且△ABC的周长为12，求S△ABC的最大值。

在△ABC中,若cos(A-B)=2cosAcosB,且△ABC的周长为12，求S△ABC的最大值。

两角差公式：
cos(A-B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)
已知
cos(A-B)=2cosAcosB
则cos(A)cos(B)=sin(A)sin(B)
两边同时除以cos(A)cos(B)
1=tanAtanB
得知A与B互为余角
所以三角形ABC为直角三角形

cos(A-B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)
已知cos(A-B)=2cosAcosB
则cos(A)cos(B)=sin(A)sin(B)
两边同时除以cos(A)cos(B)
1=tanAtanB
得知A与B互为余角
所以三角形ABC为直角三角形
周长一定的直角三角形中，当它为等腰直角三角形时面积最大”利用这一结论
设直角边长为a，则斜边√2a
周长为12.即a+a+√2a=12
所以a=12÷（2+√2）=6×（2-√2）=12-6√2
所以S△ABC的最大值是a^2/2=（12-6√2）^2÷2=108-72√2
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