函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是______

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解决时间 2021-03-03 23:37

提问者网友：愿为果
2021-03-03 05:23

函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是______．

最佳答案

五星知识达人网友：胯下狙击手
2021-03-03 05:43

a＜-1或a＞2。
解：求导函数可得：f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）
函数f（x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，
令f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）=0
则方程f'(x)=0有两个不等的实数根,
∴△=36a2-36（a+2）＞0
∴a2-a-2＞0
∴a＜-1或a＞2。

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1楼网友：不甚了了
2021-03-03 06:55

（1）∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1， ∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）， ∵函数f（x）既有极大值又有极小值， ∴△=36a2-36（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．（2）当a=3时， f′（x）=3x2+18x+15，由f′（x）＞0，得x＜-5或x＞-1；由f′（x）＜0，得-5＜x＜-1， ∴x=-5时，有极大值26；x=-1时，有极小值-6．增区间为（-∞，-5），（-1，+∞）．

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