等腰三角形 ABC 腰上的中线 BD 为定长 l ,当顶角 α 变化时,三角形ABC面积的最大

等腰三角形 ABC 腰上的中线 BD 为定长 l ,当顶角 α 变化时,三角形ABC面积的最大

由于看不清BD是1还是l（L）,权且当做l（L的小写）,其实只是个系数而已
答案是(2/3)*l^2
过程：
S△ABC=(AB*AC*sinα)/2
由于是等腰△,因此设 AB=AC=2m
在△ABD内,三条边分别为 2m,l, m(中线),以及角α
根据余弦定理
l^2=(2m)^2+m^2-2*2m*m*cosα
化简 m^2=(l^2)/(5-4cosα)
S△ABC=(2m*2m*sinα)/2=2m^2*sinα=2*(l^2)*sinα/(5-4cosα)
令f(α)=sinα/(5-4cosα)
因此主要找f最大值
f对α求导,可以得到
f'(α)=(5cosα-4)/[(5-4cosα)^2]
令其为0
解得cosα=4/5
即此时f有极值
为了验证到底是最大值还是最小值
将α=90°代入,此时f（90）=1/5
将α=arccos(4/5)代入,此时f=1/3
因此
Smax△ABC=2*(l^2)*sinα/(5-4cosα)=2*(l^2)*f(α)= 2*(l^2)/3

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