请问如何证明狄利克雷函数是周期函数，感谢

请问如何证明狄利克雷函数是周期函数，感谢

对于任意非零有理数T，
①若x是有理数，则x+T是有理数，
∴f(x)=1，f(x+T)=1，
∴f(x+T)=f(x)
②若x是无理数，则x+T是无理数，
∴f(x)=0，f(x+T)=0，
∴f(x+T)=f(x)

综上所述，
f(x)是以任意非零有理数为周期的周期函数。

【附注】
有理数+有理数=有理数
有理数+无理数=无理数

狄利克雷函数d(x)={1,当x为有理数；0，当x为无理数。} 对任何正有理数t，x+t与x同为有理数或无理数， 故，d（x+t）=d（x） 所以，狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数。（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期。因为没有最小的正有理数。）

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