求由抛物线y^2=2x与直线x-y=4所围成的图形的面积

求由抛物线y^2=2x与直线x-y=4所围成的图形的面积

如图，阴影部分即为所求面积
将函数换成以y为变量，积分比较方便
y^2=2x => x=y^2/2        x-y=4 => x=y+4
将x=y^2/2代入x=y+4解得两曲线交点纵坐标分别为y1=-2，y2=4
∴S=∫(y1,y2)[(y+4)-y^2/2]dy
=(y1,y2)[y^2/2+4y-y^3/6]
=[4^2/2+4*4-4^3/6]-[(-2)^2/2+4*(-2)-(-2)^3/6]
=(8+16-32/3)-(2-8+4/3)
=20

 

思路：直线与抛物线相交于点A(2,-2)、B(8,4),直线与X轴相交于点C（4，0），过点A、B分别作X轴的垂线交X轴与A`、B`，则围成图形的面积为∫√（2x）dx （从0积到8）-S△CBB`+∫√（2x）dx（从0积到2）+S△CAA`。【答案：10】

解法一：（以y为变量）
所求面积=∫<-2,4>[(y+4)-y²/2]dy
=(y²/2+4y-y³/6)<-2,4>
=(4²/2+4*4-4³/6)-[(-2)²/2+4(-2)-(-2)³/6]
=18；
解法二：（以x为变量）
所求面积=∫<0,2>{√(2x)-[-√(2x)]}dx+∫<2,8>[√(2x)-(x-4)]dx
=2∫<0,2>√(2x)dx+∫<2,8>[√(2x)-x+4]dx
=2[(2√2/3)x^(3/2)]│<0,2>+[(2√2/3)x^(3/2)-x²/2+4x]│<2,8>
=2[(2√2/3)*2^(3/2)]+{[(2√2/3)*8^(3/2)-8²/2+4*8]-[(2√2/3)*2^(3/2)-2²/2+4*2]}
=18。

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