若正项级数∑(n从1到∞)an收敛，证明∑(n从1到∞)an^2也收敛，但反之则不然，举例证明
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解决时间 2021-04-01 04:01
- 提问者网友：遁入空寂
- 2021-03-31 20:28
若正项级数∑(n从1到∞)an收敛，证明∑(n从1到∞)an^2也收敛，但反之则不然，举例证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：北方的南先生
- 2021-03-31 21:30
由∑a[n]收敛, 有lim{n→∞} a[n]²/a[n] = lim{n→∞} a[n] = 0.
而∑a[n], 与∑a[n]²都是正项级数.
根据比较判别法, 可由∑a[n]收敛得到∑a[n]²收敛.
反过来, 对a[n] = 1/n, 有a[n]² = 1/n².
级数∑a[n]²收敛但∑a[n]发散.
即逆命题不成立.追问如果题目没写正项级数呢追答不是正项级数的话有反例.
a[n] = (-1)^n/√n.
这是一个交错级数, 通项绝对值单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法∑a[n]收敛.
但是∑a[n]² = ∑1/n发散.
而∑a[n], 与∑a[n]²都是正项级数.
根据比较判别法, 可由∑a[n]收敛得到∑a[n]²收敛.
反过来, 对a[n] = 1/n, 有a[n]² = 1/n².
级数∑a[n]²收敛但∑a[n]发散.
即逆命题不成立.追问如果题目没写正项级数呢追答不是正项级数的话有反例.
a[n] = (-1)^n/√n.
这是一个交错级数, 通项绝对值单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法∑a[n]收敛.
但是∑a[n]² = ∑1/n发散.
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- 1楼网友：鸠书
- 2021-03-31 21:48
an^2
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