线性代数 四阶行列式

第一行：4，1，2，4；第二行：1，2，0，2；第三行：10，5，2，0；第四行：0，1，1，7；用最原始的方法做出来哦（表示我们才刚学，还没有学到余子式和克拉默法则，所以拜托各位了哦！）

r3-2r1-2r2, r1-4r2
0 -7 2 -4
1 2 0 2
0 -1 -2 -12
0 1 1 7

r1<->r2
1 2 0 2
0 -7 2 -4
0 -1 -2 -12
0 1 1 7

r2-7r3,r4+r3
1 2 0 2
0 0 16 80
0 -1 -2 -12
0 0 -1 -5

r2+16r4
1 2 0 2
0 0 0 0
0 -1 -2 -12
0 0 -1 -5

行列式 = 0

按照定义算就可以，答案是a^2b^2. 如果对行列式很熟，如下办法会稍微快一点。设最终得到行列式d。 首先，d一定是关于a和b的一个多项式，总次数为4。 其次，当a=0时，前两行相同，故行列式为零，这说明d含有因子a。同理d含有因子b。 故而可设d=ab(x1*a^2 x2*b^2 x3*ab x4*a x5*b x6)， (1) 其中的x1,...,x6是常数。 然后，从原行列式观察到互换a和b得到的行列式必相同，故 x1=x2, x4=x5. (2) 然后，观察到d的值在b=a和b=-a时是相同的（因为在这两种情况下，前两行一致，后两行和后两列分别互换即得到相同）。把b=a和b=-a分别代入(1)得到 x1=x2=x5=x6=0. (3) 联立(2)(3)得到x4=0，将它们代入(1)得到d=c*a^2b^2，其中c是常数。 令a=b=2，代入原式，每行除以2（这抵消掉a^2b^2做的贡献），得到一个0-1四阶矩阵，然后生算它的行列式（注意这比生算原来的行列式容易一些），值是1，这就是常数c。故而d=a^2b^2.

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