a，b是正数，并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是______

a，b是正数，并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是______

由两条抛物线的解析式可观察到它们均过定点p(1,1+a+2b)。
∵a,b为正数，
∴1+a+2b>0
即点p在第一象限。
又∵两条抛物线的对称轴分别为x1=-a/2 、x2=-b 均在x轴的负半轴，且两条抛物线的开口方向与开口大小一样（抛物线的二次项系数决定）
∴两条抛物线重合，即a=2b；
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ≥0，即a2-8b≥0
将a=2b代入，解出a≥4，b≥2
∴a2+b2≥20

由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a³≥64，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a³≥64，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

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