已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是______

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是______．

∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2（z2-z-1）?3z2-2z-5≤0?-1≤z≤
5
3
令f（z）=xyz=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜?
1
3 ，
∴f（z）在区间[-1，-
1
3 ]单调递增，在[-
1
3 ，1]单调递减，在[1，
5
3 ]单调递增，
当z=-
1
3 时，xyz的值为
5
27 ，当z=
5
3 时，xyz的值为
5
27 ，
∴xyz的最大值为
5
27 ．
故答案为：
5
27 ．

由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3-z2-z，利用导数的方法，可求xyz的最大值． 解答：解：∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3② ∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1 ∴xy+z（x+y）=-1 ∵x+y+z=1， ∴x+y=1-z ∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1 ∴xyz=z3-z2-z 令f（z）=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1） 令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜-3分之1 ；令f′（z）＜0，可得-3分之1＜z＜1 当z=-3分之1时，xyz的最大值为27分之5 故答案为27分之5

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息