若a,b是两个不共线的非零向量，t属于R。

（1）若a,b起点相同，t为何值时，a, tb, (a+b)/3三向量的终点在一直线上？
（2）若 | a |= | b | 且a与b夹角为60°，t为何值时，| a- tb | 的值最小？
要过程。

设向量OA=a,OB=tb,OC=1/3(a+b),
若三向量终点在一直线上，必有向量AC=mAB,其中m 为实数，
向量AC＝OC－OA＝（b－2a）／3，
向量AB＝tb－a，
则有（b－2a）／3＝m（tb－a），
对应系数成比例。可得m＝2／3，t＝1／2．

(2)
∵|a-tb|^2=a^2+t^2*a^2-2tab
且|a|=|b|
∴|a-tb|^2=(t^2-t+1)a^2
∴当T=1/2时取得最小值（对称轴）

（1）设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 tb=(t*x2,t*y2),1/3(a+b)=(1/3(x1+x2),1/3(y1+y2)). 由于三向量终点共线，则存在实数n使得 tb-a=n(1/3(a+b)-a) 即 tx2-x1=n(1/3(x1+x2)-x1) ty2-y1=n(1/3(y1+y2)-y1) 解得 n可为2/3的倍数，t=1/2

（2）|a-tb|=√[(a-tb)(a-tb)]=√(a²+t²b²-2abt)=√(a²+t²b²-2abt)

ab=|a||b|cos60=a²/2

√(a²+t²b²-2abt)=√(a²+t²a²-a²t)=|a|√(1+t²-t)=|a|√(t²-t+1)

t²-t+1=（t-1/2）²+3/4≥3/4 当且仅当t=1/2时等式成立

所以当t=1/2时，|a-tb|的值最小

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