abc都是正数且a+b+c=1证明(a+b)/1+(b+c)/1+(c+a)/1大于等于2分之9

abc都是正数且a+b+c=1证明(a+b)/1+(b+c)/1+(c+a)/1大于等于2分之9

利用柯西不等式

因为a+b+c=1,可知a+b + b+c + c+a=2(a+b+c)=2

所以(a+b + b+c + c+a)[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]

≥[√(a+b) * 1/√(a+b) + √(b+c) * 1/√(b+c) + √(c+a) * 1/√(c+a) ]^2=3^2=9

即2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]≥9

所以[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]≥9/2,即证

2(a+b+c)=2,由Cauchy不等式 [(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=(1+1+1))^2=9 2[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=9 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2 另外 把 a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2 得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3 由对称性不妨设a<=b<=c,则a+b<=a+c<=b+c,1/(b+c)<=1/(a+c)<=1/(a+b),

由排序不等式正序和>=乱序和>=逆序和，有 a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=b/(b+c)+c/(a+c)+a/(a+b) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=c/(b+c)+a/(a+c)+b/(a+b) 两式相加得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3

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