A(x1,y1)B(x2,y2)是椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1上的两点,已知向量m=(x

A(x1,y1)B(x2,y2)是椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1上的两点,已知向量m=(x1/b,y1/a),n=(x2/b,y2/a),若m*n=0且椭圆的离心率e=根号3/2,短轴长为2,O为坐标原点.若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)（1）,求直线AB的斜率k的值 （2）试问三角形aob的面积是否为定值 说明理由

（1）椭圆的离心率e=c/a=√3/2,短轴长为2b=2,

解得b=1,(a^2-1)/a^2=3/4,a^2=4,c=√3，
∴椭圆方程是y^2/4+x^2=1,①
AB过F(0，√3),设AB:y=kx+√3，②
把②代入①*4，k^2x^2+2√3kx+3+4x^2=4,
整理得(k^2+4)x^2+2√3kx-1=0,③
∴x1+x2=-2√3k/(k^2+4),x1x2=-1/(k^2+4),
由②，y1y2=(kx1+√3)(kx2+√3)
=k^2x1x2+√3k(x1+x2)+3
=(-k^2-6k^2)/(k^2+4)+3
=(12-4k^2)/(k^2+4),
m*n=(x1/b,y1/a)*(x2/b,y2/a)=x1x2+y1y2/4=(-1+3-k^2)/(k^2+4)=0,
∴k^2=2,k=土√2.
（2）由③，△=12k^2+4(k^2+4)=16(k^2+1)=48,
|x1-x2|=√△/（k^2+4)=4√3/6=2√3/3，
∴S△AOB=(1/2)|x1y2-x2y1|
=(1/2)|x1(kx2+√3)-x2(kx1+√3)|
=(√3/2）|x1-x2|
=1，为定值。

(a>b) b^2/a^2=1-c^2/a^2=1-e^2=1/4 a=2b=4 椭圆x^2/16+y^2/4=1 2 0 =m向量*n向量=x1x2/16+y1y2/4 [1] c=ae=2√3 直线ab y=k(x-c) 则 y2=k（x2-c） y1=k(x1-c) 代入【1】得 1/16*x1x2+1/4*k^2(x1x2-c(x1+x2)+c^2)=0 [2] 代入椭圆方程得 x^2/16+k^2(x-c)^2/4=1 化简得 (4+k^2)x^2-2k^2* cx+k^2*c^2-16=0 x1 x2是方程的根 因此x1+x2=2k^2/(4+k^2) x1x2=(k^2*c^2-16)/(4+k^2) 代入【2】 c=ae=2√3 化简得 35k^2-4=0解得 k=-2√35/35 或者2√35/35

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