一个三角函数题

要详细过程和运算公式

解：令sinA/a=sinB/b=sinC/c=k

    则sinA=ak

    sinB=bk

    sinC=ck

    所以sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA可化为

    ak*bk*cosC=ak*ck*cosB+bk*ck*cosA

    即   ab*cosC=ac*cosB+bc*cosA

 又因为 2ab*cosC=a^2+b^2-c^2

    2ac*cosB=a^2+c^2-b^2

    2bc*cosA=b^2+c^2-a^2

    所以 ab*cosC=ac*cosB+bc*cosA可化为

    a^2+b^2-c^2=a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2

    即a^2+b^2=3c^2

  

   所以ab / c^2=3ab /  （a^2+b^2）≤3ab /  2ab=3/2

   所以ab / c^2最大值为3/2

由正弦定理将

sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA化为

abcosC=accosB+bccosA①

再由余弦定理得

abcosC=ab(a²+b²-c²)/2ab=(a²+b²-c²)/2

同理accosB=(a²+c²-b²)/2    bccosA=(b²+c²-a²)/2

则①化为(a²+b²-c²)/2=(a²+c²-b²)/2+(b²+c²-a²)/2

即a²+b²=3c²

又a²+b²≥2ab

故3c²≥2ab

得ab/c²≤3/2

故最大值为3/2

望楼主采纳哈

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