线性代数问题7

已知A是三阶矩阵，b1≠0，b2，b3是三维向量，且满足Ab1=b1，Ab2=b1+b2，Ab3=b2+b3，证明b1,b2,b3线性无关。

用反证法

假设b1,b2,b3线性相关，则存在不全为零的x1,x2,x3,使得x1b1+x2b2+x3b3=0……（1）

（1）*A得 Ax1b1+Ax2b2+Ax3b3=0 因为 Ab1=b1，Ab2=b1+b2，Ab3=b2+b3，

则 x1b1+x2(b1+b2)+x3(b2+b3)=0……（2）

（2）-（1）得 x2b1+x3b2=0……（3）

（3）*A得 Ax2b1+Ax3b2=0

即 x2b1+x3(b1+b2)=0……（4）

（4）-（3）得 x3b1=0 又b1≠0

得 x3=0

代入（3）得 x2b1=0

得 x2=0

代入（1）得 x1b1=0

得 x1=0

即x1=x2=x3=0 与不全为零的x1,x2,x3矛盾

故b1,b2,b3线性无关

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