如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的焦点为A、B,顶点为C，那么△ABC面积的最小值是

如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的焦点为A、B,顶点为C，那么△ABC面积的最小值是

y=x2-(k-1)x-k-1 = [x-(k-1)/2]^2 - (k-1)^2/4 - k -1
所以， C的纵坐标为 - (k-1)^2/4 - k -1 = - (1/4)[k^2 + 2k + 5]
即三角形ABC的AB边上高为 (1/4)[k^2 + 2k + 5]。
A、B都在x轴上，AB边长为两点横坐标之差的绝对值。
而抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴交于A、B，所以A、B的横坐标满足方程：
x^2-(k-1)x-k-1=0
所以，(xA-xB)^2 = (xA+xB)^2 - 4 xAxB = (k-1)^2 + 4(k+1) = k^2 +2k +5
所以，AB边长为 (k^2 +2k +5)^(1/2)，三角形ABC的面积为 (1/8)[k^2 + 2k + 5]^(3/2)。
面积最小值当且仅当 k^2 + 2k + 5 = (k+1)^2 +4 取最小值，
所以，三角形ABC的面积最小值为 (1/8)*4^(3/2)=1 。

设a(x1,0) b(x2,0),则满足
x1+x2=k-1,x1x2=-k-1
故|x1-x2|=√[(k-1)＾2+4(k+1)]=√(k＾2+2k+5)
由于y=x2-(k-1)x-k-1=[x-(k-1)/2]＾2-(k＾2+2k+5)/4
故顶点的纵坐标为-(k＾2+2k+5)/4，
令t=k＾2+2k+5,
三角形abc的面积为1/2 x |x1-x2| x |-(k＾2+2k+5)/4|=(1/2)(√t )t/4
显然，t越大，面积越大，故问题等价于求t的最小值（t>0)
由于t=k＾2+2k+5=（k+1)＾2+4≫4
得t的最小值为4，故
三角形abc的面积的最小值为(1/2)(√4)（4/4）=1

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