关于狄拉克δ函数的疑问

关于狄拉克δ函数的疑问

可以证明任何除一点外均处处为零的实函数从正无穷到负无穷的广义积分的值为零，也就是说满足Dirac函数的条件的函数事实上并不存在，因此它不是通常意义上的函数，虽然可以像普通的函数一样对其进行各种运算。
它可以看成分布（正如概率论中的概率密度函数），也是测度，也是广义函数。广义函数通常定义为函数空间上的连续线性泛函。简单地说，广义函数是“某些函数的连续线性函数”。从这个意义上说，你说的定义域是“函数”。

关于狄拉克δ函数的疑问:
δ（x）= ∞ x = 0 时
δ（x）= 0 x ≠ 0 时
且
∫ (x:-∞-> ∞ ) δ（x）dx = 1
它的定义域是R。这个函数确实很怪，在0点处值无穷大，但"总强度"却等于1。所以工程上也叫单位脉冲函数。自然界也确实存在与δ函数特征相类似的现象：1，一道极强的闪电，瞬间电压几乎是无穷大（∞ ），离开这一刻就消失了（0），但是总强度是有限的（积分是有限值）。这类现象经科学家一抽象，就引出了狄拉克δ函数。2，另外的一个例子：如材料力学中常见的集中载荷问题，集中载荷被认为是作用在一个点上的，一个点上作用一个力那么压强几乎为无穷大，可力是有限的，总强度是有限的，这又是一个与δ函数有关的问题。如果用微分方程解弹性梁的变形曲线，那么集中载荷可表成：Pδ（x-x1），它的意思是在梁x1点处作用一个集中载荷P：其总强度 ∫ (x:-∞-> ∞ ) Pδ（x-x0）dx = P。 数学家研究出有关δ函数的运算方法，使得许多问题迎刃而解！在自动控制系统中，给系统输入δ(t)函数，那么系统的响应叫作脉冲响应函数h(t)，有了
h(t)系统对任意输入x(t)的响应y(t)等于h(t)与x(t)的卷积：y(t) = h(t)*x(t)。δ（x）因与常规函数不同列为广义函数，专门研究其理论，方法和应用。

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