拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系

拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系

到了大学，我最佩服的人变成了拉格朗,因为他.....
2017-03-25 bzy 笑看数学

【轻松一刻】
刚开始我佩服许仙，因为他敢日蛇。后来我佩服董永，他敢日仙。然后我又佩服宁采臣，他连鬼都敢日。学了高数，看到拉格朗日中值定理，拉格朗日插值，拉格朗日多项式，拉格朗日方程，拉格朗日函数，拉格朗日四平方和定理......等等一系列“丰功伟绩”，我不得不佩服“拉格朗”这个牛逼的人物，真是太牛了！

【言归正传】
学过高数的人估计都不会忘记拉格朗日中值定理这个很重要的定理，拉格朗日（Lagrange）这名字不但霸气异常（倒过来念更是解气）留给我们很深印象，定理本身也是很重要的，无论是课后习题，期末，考研等各种练习考试中，都缺不了它的身影。

拉格朗日定理本身是罗尔中值定理的一个推广，罗尔定理：f(x)闭区间连续，开区间可导，f(a)=f(b)，则在[a,b]间存在一个点θ，使得

数学的发展都是一步一步的，往高处，往更抽象，更加有用的阶段发展的。类似一个买卖的过程，能用最低的代价买到最好的商品，即所谓的“物美价廉”是最棒的，数学其实也就在追求这一过程，不断的降低条件，不断的得出更强的适用范围更广的结论。把罗尔定理中f(a)=f(b)这一个条件去掉，稍加推导就可以得到拉格朗日中值定理

【定理叙述】
f(x)满足开区间连续，闭区间可导，则在区间[a,b]中至少存在一点使得

【定理理解】
罗尔定理图形理解，在a,b中间存在一些点，使得其切线和x轴平行

对于一般的拉格朗日中值定理，则可以理解为

至少存在一点使得在该点切线与A,B端点连线平行，其实罗尔定理就相当于拉格朗日AB连线恰好是x轴的情形。当然也可以换一个角度理解，可以把拉格朗日理解为罗尔旋转了一个角度之后的情形。几何的图形还是比较直观，好理解的

【证明过程-寻找辅助函数】
其实，说真的，在罗尔定理的基础上，证明拉格朗日定理是非常简单的，只需要构造一个辅助函数套用一下罗尔定理就得到了拉格朗日中值定理。问题是这个辅助函数怎么来的，有什么规则吗，是从天而降的？
当然不是，还是有一定原因的。细想一下，拉格朗日是从罗尔中去掉f(a)=f(b)这个条件得到的，那么如果构造函数需要用到罗尔定理，那么构造函数h(x)就必须满足h(a)=h(b)的情形，最简单的情形自然就是0=h(a)=h(b)=f(a)-f(a)=f(b)-f(b)
也就是最简单的情形就是h(x)=f(x)-g(x),其中g(a)=f(a),g(b)=f(b)
那么满足条件的最简单的g(x)是什么？
此时g(x)满足两个条件g(a)=f(a),g(b)=f(b)，也就是说知道g(x)过两个点，
A（a,f(a) B(b,f(b))其他的一无所知......

那么过两点的最简单的函数是什么？初中生都知道，就是直线啊，所以就选择g(x)为通过A,B的直线，试试看，行不行，结果还真行啊，于是就找到了

(不要害怕，仔细一看，这其实就是过两点的直线公式罢了)

【证明过程-核心步骤】

(其实这个证明过程还是挺简单的，主要就是那个构造函数怎么来的，想通了，其实拉格朗日中值定理的证明非常简单)

【重要性】
拉格朗日中值定理说明，只要一个函数满足闭区间连续，开区间可导，就至少存在一个点满足f(b)-f(a)=f’(c)(b-a),这样就把f(b)-f(a)这个式子析出了简单因子（b-a)，和一个导数因子f’(c),把y之间的差值问题，转化为相对简单的x差值问题，在导函数性质确定的条件下，这样的转化很有意义。这在讨论一致连续函数的性质，牛顿-莱布尼兹证明，弧长的微分公式推导中都有体现，很有意义。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。

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