已知二次函数f(x)图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,且对x∈R都有f(x-2)=f(x+2)

已知二次函数f(x)图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,且对x∈R都有f(x-2)=f(x+2)

解：设二次函数的解析式为：y=a(x^2)+bx+c
由于f（2-x）=f（2+x），
所以：a[(2-x)^2]+b(2-x)+c=a[(2+x)^2]+b(2+x)+c
化简得：-b/a=4--------------------------------------------(1)
设关于x的一元二次方程a(x^2)+bx+c=0的解为：x1,x2,且x2>x1
则：x2-x1=2,x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
所以：x1+x2=4
所以：x2=3,x1=1,x1x2=3
即：c/a=3-------------------------------------------------(2)
由于：二次函数f(x)的图像经过点(4,3).
所以：3=16a+4b+c------------------------------------------(3)
解（1）、（2）、（3）组成的方程得：a=1,b=-4,c=3.
所以：f(x)的解析式为 f(x)=(x^2)-4x+3

因为f(x-2)=f(-x-2)，所以对称轴x=-2

又因为y轴截距1，所以过（0，1）

设f(x)=ax^2+4ax+1

因为x轴上线段是2根号2

所以|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]=2根号2

(x1+x2)^2-4x1x2=8

16-4/a=8

a=1/2

所以f(x)=x^2/2+2x+1 

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