如图在直角三角形ABC中∠ABC=90 CD⊥AB垂足为D 点E在AC上 BE交CD于点G EF⊥B

如图在直角三角形ABC中∠ABC=90 CD⊥AB垂足为D 点E在AC上 BE交CD于点G EF⊥B

（1）EG=EF【证明】过点E分别作EM垂直于AB,垂足为M；再过点E作EN垂直于CD,垂足为N当m=1,n=1时,即AC=BC,CE=AE.三角形ABC为等腰直角三角形,角CAD=45度,CD垂直于AB,三角形ACD也为等腰直角三角形.又点E为AC的中点,易证EM=EN,又 角EFM+角EBF=90度,角EBF+角BGD=90度,所以 角EFM=角BGD,又 角BGD=角EGN所以 角EFM=角EGN,从而证明三角形EFM全等于三角形EGN.故EG=EF.（2）m=1,n为任意实数时,EF/EN=EM/EN=1/n.【证明】m=1,n为任意实数时,即AC=BC,CE=nAE,三角形ABC为等腰直角三角形,角CAD=45度,CD垂直于AB,三角形ACD也为等腰直角三角形.由于CE=nAE,EM垂直于AB,则三角形AEM相似于三角形ACD,故EM/CD=AE/AC=1/(n+1);同理由EM垂直于CD,则三角形ENC相似于三角形ADC,故EN/AD=CE/AC=n/(n+1);由于AD=CD,由上述两式得：EM/EN=1/n.同（1）中方法类似,有角EFM=角EGN,角EMF=角ENG=90度,三角形EFM相似于三角形EGN,则EF/EN=EM/EN=1/n.（3）当m,n均为任意实数,EF/EN=EM/EN=1/mn【证明】当m,n均为任意实数,AC=mBC,CE=nAE易证直角三角形ACD相似于直角三角形ABC,则AD/CD=AC/BC=m,由（2）中证明有：EM/CD=AE/AC=1/(n+1)EN/AD=CE/AC=n/(n+1) 联立这三个式子有：EM/EN=1/mn同理证三角形EFM相似于三角形EGN,则EF/EN=EM/EN=1/mn.

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