设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+

设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+…+a100的值是________．

200解析分析：由anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3?可得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4相减可得an+4=an，再由已知可推得数列为，1，1，2，4循环出现，故可求解a1+a2+…+a100的值解答：∵对任何自然数n，都有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3? ①∴an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，②②-①，得anan+1an+2（an+4-an）=an+4-an，即（an+4-an）（anan+1an+2-1）=0由已知anan+1an+2≠1，即anan+1an+2-1≠0，只能an+4-an=0，即得an+4=an．又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．故数列为，1，1，2，4的循环出现∴a1+a2+…+a100=25（1+1+2+4）=200．故

好好学习下

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