问是否存在着1000个正整数，使其中刚刚好有5个质数

问是否存在着1000个正整数，使其中刚刚好有5个质数

答案是肯定的。

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考虑以下阶乘：1001!=1×2×3×4×……×999×1000×1001，
容易看出，1001!是1~1001这1001个连续整数的公倍数。
设n使介于2~1001中的任意一整数，那么1001!一定是n的倍数，不妨设为a倍，
于是1001!+n=a×n+n=(a+1)n，一定是n的倍数。
于是，
1001!+2、1001!+3、1001!+4、1001!+5、……、1001!+999、1001!+1000、1001!+1001这1000个数是连续的整数，且分别是2、3、4、5、……、998、999、1000的远远不止一倍，因而它们均为合数。
也就是说我们找到了连续的1000个正整数，其中包含0个素数。以打头的数来做标记，记为序列A-{1001!+2}
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现在，我们将这个序列中的最末一个数去掉，在第一个数之前再添上比它小的数，也就是1001!+1，于是这个序列变为：
1001!+1、1001!+2、1001!+3、1001!+4、1001!+5、……、1001!+1000、1001!+1001记为序列A-{1001!+1}
容易理解的是，这个序列中素数至多一个，也就是1001!+1（这个数是否是素数不用管它）
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也就是说，我们删掉序列最后一个数，添上前面的数，总个数始终保持1000个正整数，反复进行至序列A-{1}，也就是1、2、3、4、……、999、1000。
在此过程中分为四种情况：
①删掉一个合数，增加的是素数，此时序列中素数总个数+1；
②删掉一个合数，增加的是合数，此时序列中素数总个数+0；
③删掉一个素数，增加的是素数，此时序列中素数总个数+0；
②删掉一个素数，增加的是合数，此时序列中素数总个数-1。
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值得注意的是，A-{1001!+2}中包含0个素数，A-{1}包含的素数超过5个。
从A-{1001!+2}变化至A-{1}的过程中，每次至多增加一个或至多减少一个素数，那么一定会有5个素数的情况出现。下面通过两种方式来证明。
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第一种方式，并不严谨。假设我们从0级台阶开始爬，每次原地不动，或上一级、下一级台阶。要想到达5级以上的台阶，必然要踏上至少一次第5级台阶。
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第二种方式，反证法。从目标来看，要想达到多于5个素数的情况，至少应达到6；另一方面，从0个素数开始变化，要想达到多于5个素数的情况，要想达到6个素数，只有5+1才能达到，假若不存在5个素数的情况，一定无法达到6个素数的情况，矛盾。
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