已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值

已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值

【解】s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|,∴|BC|sinB=3/2,∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB将|BC|=3/(2 sinB)代入得2=(-3/2)|AB|cosB/ sinB, |AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB=9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB =(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2=1+1/(tanB)^2,代入上式】上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(16/9)(tanB)^2+4=(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2] +4+9/4=4+4+9/4=41/4.∴|AC|≥√41/2.当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.此时tanB=-3√2/4.======以下答案可供参考======供参考答案1:s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|，∴|BC|sinB=3/2,∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB=(-3/2)|AB|cotB,|AB|=(-4/3)cotB,由余弦定理，AC^2=9/(2sinB)^2+(16/9)(cotB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)cotB*cosB=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(cotB)^2+4(cosB)^2=(9/4+16/9)/(sinB)^2-16/9+4-4(sinB)^2,当sinB=1时AC^2取最小值9/4，|AC|的最小值=3/2.供参考答案2:因为s=3/4|AB|=1/2|AB||AC|sinA，所以|AC|sinA=3/2，因为sinA≤1，所以当sinA=1，即∠A=90°时，|AC|最小=3/2

就是这个解释

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