一道较难的几何题

如图：在RT△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4；D是BC的中点，L是DC的中点，O是MD的中点；M是AC的三等分点，AM=1且N、M、L共线。

求证：AO/AN=ML/DL

在RT△CLM中，∠C=90°，CL=1，CM=2

∴ML=√5

又DL=CL=CD/2=1

ML/DL=根号5

在三角形AMD中，，由余弦定理COSAMD=(AM^2+MD^2-AD^2)/(2AM*MD)

在三角形AMO中，，由余弦定理COSAMO=(AM^2+MO^2-AO^2)/(2AM*MO)

联立的、方程解得AO=根号5

在三角形CML中，cosCML=2/根号5

在三角形NMA中，cosAMN=（AM^2+MN^2-AN^2）/2AM*MN (1)

cosNAM=(AM^2+AN^2-MN^2)/2AM*AN (2)

因为角NAM+角MAB=180

cosNAM=-cosMAB=-3/5

联立1,2，可解得AN=1,则AO/AN=根号5

所以AO/AN=ML/DL=根号5

∵N、M、L共线

∴AN·BL·CM/BN·CL·AM = AN·BL·CM/（AN+AB）·CL·AM =1【孟氏定理】

在RT△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4

∴AB=5

又D是BC的中点，L是DC的中点，M是AC的三等分点，AM=1，

∴CM=2 ，CL=1 ，BL=3

∴AN=1

∵BC=4，D是BC的中点

∴CD=2

在RT△ADC中∠C=90° ，AC=3，CD=2

∴AD=√13【√ ＜=＞ 根号】

在RT△CDM中，∠C=90°，CD=2，CM=2

∴MD=2√2

又AO是△AMD，MD边上的中线，AM=1

∴AO=0.5√（2（AM² +AD²）-MD²）=√5【三角形中线定理】

在RT△CLM中，∠C=90°，CL=1，CM=2

∴ML=√5

又DL=CL=CD/2=1

∴AO/AN=ML/DL=√5

证毕。

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