过定点P(1,4)作直线交抛物线C: y＝2x^2于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________

过定点P(1,4)作直线交抛物线C: y＝2x^2于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________

过程详细

设直线AB得方程为y-4=k(x-1)

联立直线方程与抛物线方程得

2x²-kx+k-4=0

设A(x1,y2),B(x2,y2)

由韦达定理得

x1+x2=k/2,x1x2=(k-4)/2

又y=2x^2,y`=4x

设过A、B分别作抛物线C的切线l1、l2

则kl1=4x1,kl2=4x2

∴l1方程为y-2x1²=4x1(x-x1)，即y=4x1x-2x1²

同理，得l2方程为y=4x2x-2x2²

联立l1、l2方程得

xM=(x1+x2)/2,yM=2x1x2

又x1+x2=k/2,x1x2=(k-4)/2

∴xM=k/4,yM=k-4

∴yM=4xM-4

即M的轨迹方程为y=4x-4

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