在三角形ABC中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,cos2C+2√2cosC+2=0

在三角形ABC中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,cos2C+2√2cosC+2=0
（1）求角C的大小；
（2）若b=√2a，三角形ABC的面积为√2/2sinAsinB，求sinA及c的值。

(1)cos2C+2√2cosC+2=0

2(cosC)^2-1+2√2cosC+2=0

2(cosC)^2+2√2cosC+1=0

(√2cosC+1)^2=0

所以cosC=-√2/2

所以C＝135度。

(2)由（1）知A+B＝45度
由正弦定理得a/sinA=b/sinB
所以asinB=bsinA=√2asinA

所以sinB=√2sinA
所以sin(π/4-A)=√2sinA

√2/2cosA-√2/2sinA=√2sinA

sinA=(1/3)cosA
又(sinA)^2+(cosA)^2=1
得10(sinA)^2=1
所以sinA=√10/10

S＝(1/2)bcsinA=√2/2 sinAsinB

所以bc=√2sinB
又b/sinB=c/sinC
所以b=csinB/sinC
所以csinB=√2sinBsinC

所以c=√2sinC=√2*(√2/2)=1

即c=1.

(1)cos2c=2cos²c-1.设cosc=x,则原等式可化成2x²+2√2*x+1=(√2*x+1)²=0,解得x=-√2/2.∴c=135° (2)由正弦定理得s=absinc/2=√2*sinasinb/2,b=√2*a因此√2*a²sinc=√2*sinasinb,即a²sinc=sinasinb ∵a/sina=c/sinc,∴asinc=csina,两边乘以a,得到a²sinc=acsina=sinasinb,即ac=sinb a/sina=b/sinb,∴sinb=bsina/a=√2*sina.因此有ac=√2*sina a=csina/sinc,带入得c²sina/sinc=√2*sina,即c²=√2*sinc=√2*1/√2=1,c=1 由馀弦定理得c²=a²+b²-2abcosc=a²+2a²-2√2*a²cos135°=5a²=1,a=√(1/5) sina=asinc/c=√10/10

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