求救，关于第二类曲面积分的对称性问题

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解决时间 2021-03-04 20:30

提问者网友：缘字诀
2021-03-04 12:43

哪位高手知道第二类曲面积分的对称性问题，和第一类相反吗？能不能详细说明一下

最佳答案

五星知识达人网友：一袍清酒付
2021-03-04 14:15

这个对称性是有的哈，不过因为第二类存在面的方向问题，如一个球面关于如xoy面对称，球面方向去向外（或向内），被积函数是z的奇函数或偶函数，那么就会出现你说的那个和第一类相反的情况：被积函数关于z为奇函数，则结果等于二倍的被函数在上半球面的积分；为z的偶函数，则积分为零。

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1楼网友：野味小生
2021-03-04 17:28

第二类曲线积分：曲线的对称性、曲线方向、被积函数奇偶性。在逆时针情况下、曲线若关于y轴对称：p关于x为偶函数、对Pdx积分结果为2倍，p关于x为奇函数结果为零；Q关于x为偶函数，积分结果为零，奇函数为2倍……以后条件改变一个，结果对应改变

2楼网友：躲不过心动
2021-03-04 16:39

可用对称性，但结果不是你认为的0，因为这里有三个对称的地方：曲面关于xoy面对称；被积函数关于z是奇函数；上半曲面的上侧与下半曲面的下侧对称。所以结果是上半曲面的上侧上积分的2倍，而不能直接得到0。

3楼网友：第幾種人
2021-03-04 15:14

补：如果连续或分段连续曲面关于如xoy面对称，且上半曲面和下半曲面的取向如果一致即上下曲面上关于xoy对称的两点处的法向量和z轴正向的夹角同为锐角或同为钝角，那么这时第二类曲面的对称性和第一类一致：被积函数为z的奇函数，则积分值为零；为z的偶函数，则积分值为二倍的被积函数关于上半曲面的积分值。如果上半曲面和下半曲面的取向相反，则对称性和第一类相反即上面我说的那个球面的情况。

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