关于圆的数学难题求解

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0 (1)若此方程表示圆，求m的取值范围 (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值 (3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程

(1)由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得：m<5

(2)x²+y²-2x-4y+m=0①

x+2y-4=0②

设M(x1,y1),N(x2,y2)

①②联立，得：5y²-16y+8+m=0③

∴y1+y2=16/5,y1y2=(m+8)/5

∵OM⊥ON

∴x1x2+y1y2=(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=5y1y2-8(y1+y2)+16=5×(m+8)/5-8×16/5+16=0

解得m=8/5

(3)m代入③得：5y²-16y+48/5=(5y-4)(y-12/5)=0

∴y1=4/5,y2=12/5

∴x1=12/5,x2=-4/5

即M(12/5,4/5),N(-4/5,12/5)

圆心为MN中点(4/5,8/5),r²=(12/5-4/5)²+(4/5-8/5)²=16/5

∴圆的方程为 (x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5

(1)先化为圆的一般方程:(x-1)2+(y-2)=5-m. r2=5-m>0,则m<5 (2)设m(x1y1)n(x2y2)由om垂直on可知X1X2+Y1Y2=0 . 联立直线与圆方程可得：5y2-16y+8+m=0或者5x2-8x-16+4m=0

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