九年级数学上

抛物线y=ax²+bx+c，且A（—1，0）B(3,0)两点，交y轴于点C，设该抛物线的顶点为D，若以DB为直径的圆G经过点C求下列问题：（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
则y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a
则点D的坐标为D（1，-4a）
点C的坐标为C（0，-3a）
（2）过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示：
则有△DEC∽△COB
∴a²=1a=±1
抛物线的解析式为y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3；
（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x²+2x+3，
这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3）．
如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
则点Q坐标（k，-k²+2k+3）
化简为2k²-3k-9=0
即（k-3)（2k+3）=0
解之为k=3或k=-1.5
若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
点M的坐标为(0，3.5
)DM所在的直线方程为y=0.5x+3.5
则y=0.5x+3.5
与y=-x²+2x+3的解为x=0.5
即满足题意的Q点有三个，（0，3），(-1.5,-2.25)(0.5,3.75)

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