如图,已知AB为圆O直径,AB⊥CD,点D在AC上,DE切圆O于点E,CD与DE相等吗?为什么?

如图,已知AB为圆O直径,AB⊥CD,点D在AC上,DE切圆O于点E,CD与DE相等吗?为什么?

CD=DE

证明：连结OE

因为AB⊥AC

即∠CAB=90°

且∠CAB+∠C+∠B=180°(三角形内角和定理)

所以，∠C+∠B=90°

因为OE=OB

所以，∠B=∠OEB(等边对等角)

所以，∠C+∠OEB=90°(等量代换)

因为DE切圆O于E

所以，∠OED=90°(圆的切线性质定理)

且∠OED+∠DEC+∠DEB=180°(平角定义)

所以，∠DEC+∠DEB=90°

所以，∠C=∠DEC(同角的余角相等)

所以，CD=DE(等角对等边)

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