已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM=λAB．（Ⅰ）证明：λ=1-e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-
a
e ，0）（0，a）．
由







y=ex+a

x2
a2 +
y2
b2 =1 得







x=-c
y=
b2
a ．这里c=



a2+b2 ．
所以点M的坐标是（-c，
b2
a ）．由




AM =λ




AB 得（-c+
a
e ，
b2
a ）=λ（
a
e ，a）．
即








a
e -c=λ
a
e

b2
a =λa ．解得λ=1-e2．
（Ⅱ）因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，
要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
1
2 |PF1|=c．
设点F1到l的距离为d，
由
1
2 |PF1|═d=
|e(-c)+0+a|




1+e2 =
|a-ec|




1+e2 =c，
得
1-e2




1+e2 =e．
所以e2=
1
3 ，于是λ=1-e2=
2
3 ．
即当λ=
2
3 时，△PF1F2为等腰三角形．

(1)，由题易求a、b的坐标为：a（-a/e，0），b（0，a）。
 设m的坐标为（x，y），则：x^2/a^2+y^2/b^2=1，
 且 y=ex+a。
 向量am、向量ab的坐标为：
 向量am=（x+a/e，y），向量ab=（a/e，a），
 因为向量am=r向量ab，所以 (x+a/e，y)=r(a/e，a)=(ra/e，ra)。
 所以 x+a/e=ra/e ， y=ra， x=(r-1)a/e ， y=ra。
 代入x^2/a^2+y^2/b^2=1，得：(r-1)^2/e^2+r^2*(a/b)^2=1。
 又因为 (a/b)^2=1/(1-e^2) ，所以 (r-1)^2/e^2+r^2/(1-e^2)=1，
 化简得：(r-1)^2+2e^2*(r-1)+e^4=0 ， (r-1+e^2)^2=0。
 所以 r-1+e^2=0 ，即 r=1-e^2。
（2），当λ=3/4 时，e=1/2 ，所以a=2c．
由△mf1f2的周长为6，得2a+2c=6．
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3．
椭圆方程为x^2/4 +y^2/3 =1．

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