用初等方法证明E^x-1的等价无穷小量是x.
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解决时间 2021-11-29 07:16
- 提问者网友：無理詩人
- 2021-11-28 14:37
用初等方法证明E^x-1的等价无穷小量是x.
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒安江南
- 2021-11-28 15:10
做代换e^x-1=y x=ln(y+1) x→0时 y→0
x→0
(e^x-1)/x
=y/ln(1+y)
=1/(ln(1+y)/y)
=1/ln(1+y)^(1/y)
=1/ln(1+1/(1/y))^1/y
=1/lne
=1/1
=1
只用到了极限的四则运算法则和当x→∞时 (1+1/x)^x→e
应该最基础了
x→0
(e^x-1)/x
=y/ln(1+y)
=1/(ln(1+y)/y)
=1/ln(1+y)^(1/y)
=1/ln(1+1/(1/y))^1/y
=1/lne
=1/1
=1
只用到了极限的四则运算法则和当x→∞时 (1+1/x)^x→e
应该最基础了
全部回答
- 1楼网友：蕴藏春秋
- 2021-11-28 16:38
x趋向于0时，ln(1+x)~x，这个容易理解吧
这个用洛必塔法则limx/ln(1+x)=lim1/(1+x)^-1=lim(1+x)=1
所以x趋向于0时，limx=limln(1+x)
e^limx=e^limln(1+x)
lime^x=lime^ln(1+x)
lime^x=lim(1+x)
lim(e^x-1)=lim(x)=0
这个用洛必塔法则limx/ln(1+x)=lim1/(1+x)^-1=lim(1+x)=1
所以x趋向于0时，limx=limln(1+x)
e^limx=e^limln(1+x)
lime^x=lime^ln(1+x)
lime^x=lim(1+x)
lim(e^x-1)=lim(x)=0
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