如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1

如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出它们的关系；（不必证明）（2）如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明；（3）若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2．
（1）S1=S2+S3

（2）S1=S2+S3，证明如下：
显然S1=




3
4 c2，S2=




3
4 a2，S3=




3
4 b2，
∴S2+S3=




3
4 （a2+b2）=




3
4 c2=S1．

（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似．
∴
S2
S1 ＝
a2
c2 ，
S3
S1 ＝
b2
c2 ，
∴
S2+S3
S1 ＝
a2+b2
c2 =1．
∴S1=S2+S3．
即凡是向△ABC外做相似多边形，S1=S2+S3．

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