1+1+2分之1+1+2+3分之1+1+2+3......2003分之1

1+1+2分之1+1+2+3分之1+1+2+3......2003分之1

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+...2003)
=1+2/[(1+2)*2]+2/[(1+3)*3]+...+2/[(1+2003)*2003]
=1+2*(1/2-1/(1+2)+1/3-1/(1+3)+...+1/2003-1/(1+2003))
=1+2*(1/2-1/2004)
=1+1001/1002
=2003/1002

其中的一个知识点 1+2+3+...+n=(1+n)*n/2

考察一般项ak ak=1/(1+2+...+k)=1/[k(k+1)/2]=2[1/k-1/(k+1)] 1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+2005) =2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2004-1/2005+1/2005-1/2006) =2(1-1/2006) =2*2005/2006 =2005/1003

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