当a趋于b时,为什么ab之间的曲线(不一定是园上的曲线)比ab弦等于一?怎么证明？？？？

当a趋于b时,为什么ab之间的曲线(不一定是园上的曲线)比ab弦等于一?怎么证明？？？？

我不知道你的这个问题是在那个水平层面上的问题（初中，高中，大学）。如果你是前两者，那你其实不需要知道为什么，因为解释这个问题超过你现有的知识程度；如果是后者，那么就我所知，严格地说，你的这个命题是需要条件才成立的。可以构造在ab之间曲折而无穷长（1测度为无穷）的连续曲线（比如通过分形的方式），和弦之比始终是无穷大。或者，想像xy平面上有一条直线是y=x，在其上方一个通向原点o越来越密的阶梯，a就取再o，在阶梯越来越密的那个端点，阶梯和渐进45度的斜线有无穷个交点，于是当b趋于a时，ab之间的曲线长和弦之比讲无穷多次等于根号2。对这个阶梯做一下光滑化处理，然后压在一根和y=x在0点相切的二次曲线里，可以得到一个处处可微的曲线，仍然不具有你所说的那个性质。在这个例子中问题出在0点导数不连续，而如果曲线是C1的，那么这个性质就对了。至于为什么，这取决到曲线的长度的定义问题，说起来太麻烦，有兴趣可以直接看一下曲线积分的书，比如
http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/analysis/download/28.pdf

当然可能你和我对于弦的理解不同。可能弦只在一个凸集上面有意义（也就是说任意一条弦和曲线本身只交在两点）（前面的讨论都是基于对弦只是任意两点的连线这一定义的）。如果这样的话，那么你的命题就总是成立的了（前面列举的那些反例都不是凸集）。还是要回到前面和你说的曲线长度的定义，该定义是基于对曲线的任意划分，如果弦长之和对划分区间长趋于零是有极限的话，那么曲线长度就定义作这个极限。而对于凸曲线，弦长对于这个划分的加细是单调的，并且是有上界的（上界被一个直角三角形的两条直角边包含）。也就是说，对划分取极限，凸曲线长well defined（直到这里和任何可以算长度的曲线差不多一样）且包含在两直角边之和与斜边长之间。由于凸曲线在任一点，比如a，都存在左右导数，因此当b从某侧趋于a时，两条直角边之和与斜边之比趋向于1。
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写在上面的回答提交两周之后的吐槽：

唉，最近发现我在知道上面几个最用心的回答全都没有被采纳，被采纳的反而都是些一两分钟内随便写写的小东西，看着自己用心的回答就这么被晾着，连个回复都没有，感觉真是可惜……是被答案意料之外的复杂度吓着了？……谁让这是网络呢，我又不知道问问题的人什么知识背景，当然是力求严谨。现实生活中如果有一个小朋友问我这种问题，我肯定是笑而不语……

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