在一个等边三角形ABC中有一点P，PA=6，PB=8，PC=10，求这三角形ABC的面积

在一个等边三角形ABC中有一点P，PA=6，PB=8，PC=10，求这三角形ABC的面积

解：假定等边△ABC的边长为k，作BC边上的高AD，则BD=k/2，由勾股定理得：
AD²
=AB²-BD²
=k²-k²/4
=3k²/4
AD=(√3)k/2
面积S=1/2×BC×AD=1/2×k×(√3)k/2=(√3)k²/4

以PA为边向△ABC外作一等边△APE(E点在AB边外)，连结BE，可知：∠BAE+∠PAB=∠BAC=∠PAE=∠CAP+∠PAB=60穿姬扁肯壮厩憋询铂墨°，所以：∠BAE=∠CAP；AB=AC，AE=AP，因此，△BAE≌△CAP；则：BE=CP=10，
在△BPE中，PE=6，PB=8，BE=10，因为：6²+8²=10²
所以，△BPE是一个以∠BPE为直角的直角三角形，所以：∠APB=∠APE+∠BPE=60°+90°=150°，
在△ABP中，由余弦定理得：
k²=AB²=PA²+PB²-2×PA×PB×cos∠APB
=6²+8²-2×6×8×cos150°
=100+48√3
综上，S△ABC=(√3)k²/4=(√3)/4×(100+48√3)=25(√3)+36。

注：在电脑里，√表示二次根号，25(√3)+36就表示25倍的根号3，再加上36。

第一问：∵△pac绕a逆时针旋转得到的。 ∴a p'=ap=6，∠ p'ab=∠pac ∴△abc是等腰三角形 ∵△abc是正三角形 ∴∠bac=60° ∵∠pac+∠bap=60°， ∠ p'ab=∠pac ∴∠p'ab+∠bap=60° ∴△p’ap是正三角形 ∴p'p=6 第二问：∵△pac绕a逆时针旋转得到的。 ∴p'b=pc=10 又∵pb=8,p'p=6 ∴8^2+6^2=10^2 ∴∠p'pb=90° 又∵p'pa是正三角形 ∴∠p'pa=60° ∴∠apb=∠p'pa+∠p'pb=60°+90°=150

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