简单的数学几何证明

已知：ABEF和ACGH为正方形，AD⊥BC

求证：FM=MH

过F，H分别作AM的垂线分别交于P,Q

AHQ≌CAD

AFP≌BAD

MHQ≌MFP

FM=MH

证明；过F、H两点分别作FQ垂直AM、HP垂直AM、分别交于Q、P.

在△ABD和△FAQ、△ACD和△HAP中。

因为∠ABD=∠FAQ、AB=AF、所以△ABD≌△FAQ、FQ=AD,

因为∠ACD=∠HAP、AC=AH、所以△ACD≌△HAP、HP=AD,

故FQ//HP、 FQ=HP、所以 四边形FQHP是平行四边形、所以 FM=MH.

使用面积证法：只要求证▷AFM与▷AMH面积相等即可证明。由图形易得∠ABC=∠FAM,∠MAH=∠ACB.

由正弦定理得▷AFM与▷AMH面积的比为AF*AM*SIN∠FAM与AH*AM*SIN∠MAH的比.又因为AF=AB,AH=AC,所以上式转化为AB*SIN∠ABC与AC*SIN∠ACB的比.很显然AB*SIN∠ABC与AC*SIN∠ACB都等于AD,所以比值为1，即得证。

作∠BAN=∠AFH交BC于N，因为∠BAD+∠FAM=90° ∠BAD+∠ABN=90°，所以∠FAM=∠ABN，又FA=AB,所以△ABN≌△FAM，所以FM=AN，同理△ACN≌△HAM,所以MH=AN，所以FM=MH