特征值与特征向量证明题

特征值与特征向量证明题
1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明：kξ1（k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.
2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量,证明ξ1+ξ2不可能是A的特征向量.
知道的请详细回答,
另,第一题是不是题目本来就错了.

1）ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,
所以Aξ1=λξ1,Aξ2=λξ2,
Akξ1=λkξ1（k≠0)
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以kξ1（k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.
2）设ξ1+ξ2是A的特征向量
则存在 λ使得
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
又ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量
所以Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,
A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2＝λ(ξ1+ξ2)
（λ1－λ）ξ1+（λ2－λ）ξ2＝0
（λ1－λ）,（λ2－λ）不同时为0说明ξ1,ξ2线性相关与ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量矛盾
所以ξ1+ξ2不可能是A的特征向量.

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