设点E、F、G分别在△ABC三边AB、BC、AC上（除端点外），求证：△AEG、△BEF、△CFG中至少有一个面积不大于
答案:2 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-03-06 15:36
- 提问者网友：浪荡绅士
- 2021-03-06 03:50
四分之一
最佳答案
- 五星知识达人网友：一袍清酒付
- 2021-03-06 04:57
反证法，假设都大于四分之一
S（△ABC）=1/2*AB*AC*sinA
S（△AEG）=1/2*AE*AG*sinA>1/4*S（△ABC）
因此有AE*AG>1/4*AB*AC
同理有BE*BF>1/4*BA*BC,CF*CG>1/4*CB*CA
把三个不等式乘起来，有
AE*BE*BF*CF*CG*AG>1/4*AB^2*1/4*BC^2*1/4*CA^2
由均值不等式，有
AE*BE<=1/4(AE+BE)^2=1/4*AB^2,
同理BF*CF<=1/4*BC^2,CG*AG<=1/4*CA^2,
矛盾，原命题得证
S（△ABC）=1/2*AB*AC*sinA
S（△AEG）=1/2*AE*AG*sinA>1/4*S（△ABC）
因此有AE*AG>1/4*AB*AC
同理有BE*BF>1/4*BA*BC,CF*CG>1/4*CB*CA
把三个不等式乘起来，有
AE*BE*BF*CF*CG*AG>1/4*AB^2*1/4*BC^2*1/4*CA^2
由均值不等式，有
AE*BE<=1/4(AE+BE)^2=1/4*AB^2,
同理BF*CF<=1/4*BC^2,CG*AG<=1/4*CA^2,
矛盾，原命题得证
全部回答
- 1楼网友：旧脸谱
- 2021-03-06 06:05
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