已知：f[x]定义域为x属于一切实数，且f[x1+x2]=f[x1]+f[x2],x>0时，f[x]<0,f[1]=-1/2，求不等式f[a]+f[a+1]≥-2的解集

已知：f[x]定义域为x属于一切实数，且f[x1+x2]=f[x1]+f[x2],x>0时，f[x]<0,f[1]=-1/2，求不等式f[a]+f[a+1]≥-2的解集

解：令x1=-x1,x2=-x2,则

f[-x1-x2]=f[-x1]+f[-x2]

因为f[x1+x2]=f[x1]+f[x2]

所以f[x1+x2]+f[-x1-x2]==f[x1]+f[x2]+f[-x1]+f[-x2]

所以f[x1+x2-x1-x2]=f[x1]+f[-x1]+f[-x2]+f[x2]

所以f[0]=f[0]+f[0]

f[0]=2f[0]

所以f[0]=0

又令x2=-x1则

因为f[x1+x2]=f[x1]+f[x2]

所以f[x1-x1]=f[x1]+f[-x1]

f[0]=f[x1]+f[-x1]

所以f[x1]+f[-x1]=0

f[-x1]=-f[x1]

又因为x1是定义域内的任意数

所以f[-x]=-f[x]

所以原函数f[x]为奇函数

所以f[a]+f[a+1]≥-2可以变形为

f[a+a+1]≥-2

f[2a+1]≥-2

f[2a+1]≥-2

又因为f[1]=-1/2，

4f[1]=-2

所以f[2a+1]≥-2可以变形为

f[2a+1]≥-4f[1]，移项得

f[2a+1]+4f[1]≥0,变形为

f[2a+1]+f[1]+f[1]+f[1]+f[1]≥0,所以

f[2a+1]+ f[4]≥0,所以

f[2a+5]≥0，因为原函数为奇函数

所以f[-2a-5]=-f[2a+5],

又因为f[2a+5]≥0，所以-f[2a+5]≤0

所以f[-2a-5]≤0

又因为，题目已知，当x>0时，f[x]<0

所以可以推知

-2a-5≥0

即2a+5≤0

a≤-5/2

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