求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限

求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限

对 ： k ∈Z+

1/(k+1) =∫[k,k+1]1/(k+1)dx
<∫[k,k+1] 1/x dx = ln(k+1)-lnk
<∫[k,k+1] 1/kdx =1/k

∴
1/2+1/3……+1/n+1/(n+1)
<[ln(n+1)-lnn]+...+[ln2-ln1]=ln(n+1)
<1+1/2+1/3……+1/n

令：an = 1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)
0<1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)< 1- 1/(n+1) <1
∴ an为有界数列；
由：x>-1 时，ln(1+x) an -a(n-1) = 1/n -(ln(n+1)-lnn) = 1/n - ln(1+1/n) > 0
∴ an为单调数列；

∴ an 存在极限。
lim(n->∞) {1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)} = C =0.577215...
C 称为欧拉常数。

构造函数f(x)=ln(1+t)-t,t>0. 那么f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0 g'(t)=1/(1+t)-1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0 因此当t>0时， f(t)单调减少 但f(0)=0, 因此当t>0时， f(t)<0, 现在如果x>0, t=1/x, 那么f(t)=f(1/x)=ln(1+1/x)-1/x=ln[(x+1)/x]-1/x<0 ln[(x+1)/x]<1/x ln[1(+1/n)=ln(n+1)-lnn<1/n f（n）=1+1/2+1/3+ …+1/n g(n)=ln(n+1) f(1)=1＞g(n) 当n≥2 f（n）-f（n-1)=1/n g（n）-g（n-1)=ln(n+1) f（n）-f（n-1)＞g（n）-g（n-1) f（n）＞g（n）-g（n-1)+f（n-1） 则f（n）＞g（n） 1+1/2+1/3+ …+1/n > ln(n+1)

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息