求证：二项式X^2n-Y^2n（n属于N*）能被X+Y整除。

求证：二项式X^2n-Y^2n（n属于N*）能被X+Y整除。

用数学归纳法做

当n=1时 X^2n-Y^2n = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)

设 n <=k 时成立 X^2k-Y^2k 能被X+Y整除

n = k+1时 X^2(k+1) - Y^2(k+1) = ( X^2k-Y^2k)( x^2 + y^2) - X^2ky^2 +x^2Y^2k

= ( X^2k-Y^2k)( x^2 + y^2) - x^2y^2( X^2(k-1) - Y^2(k-1))

上面两个多项式都能被X+Y整除

所以X^2(k+1) - Y^2(k+1) 能被X+Y整除

X^2n-Y^2n能被X+Y整除 证毕

证明：①当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y) ∴能被x+y整除。

②假设n=k时，x2k-y2k能被x+y整除。

那么 n=k+1时

即 x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2·y2k- y2·y2k

=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)

∵x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除

∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除

即n=k+1时，x2k+2-y2k+2能被x+y整除

由①②可知，对任意的自然数n命题均成立。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息