求函数y=9^x-m*3^x+1(m属于R）的最小值 详细过程

求函数y=9^x-m*3^x+1(m属于R）的最小值 详细过程

令3^x=t (t>0)
原式=t²-mt+1
=(t-m/2)²+1-m²/4
当m<=0时，最小值不存在
当m>0时，t=m/2时，取最小值1-m²/4
此时，3^x=m/2,x=log3(m/2) 以3为底m/2的对数

因为y=(x-m/2)²+1-m²/4 对称轴为x=m/2 给思路 答案自己算 (i)当m/2≤-1  ==>m≤-2时  f(x)在[-1,2]上是增函数   则f(x)max=f(2) f(x)min=f(-1) (ii)当-1<m/2<1/2 ==>-2<m<1   则f(x)在[-1,m2]是减函数，在(m/2,2]上是增函数 则f(x)max=f(2) f(x)min=f(m/2) (iii)当m/2=1/2 ==>m=1 则f(x)在[-1,m2]是减函数，在(m/2,2]上是增函数 则f(x)max=f(2)或f(-1) f(x)min=f(m/2) (iv)当1/2<m/2<2 ==>1<m<4  则f(x)在[-1,m2]是减函数，在(m/2,2]上是增函数 则f(x)max=f(-1) f(x)min=f(m/2) (v)当m/2≥2  ==>m≥4 f(x)在[-1,2]上是减函数   则f(x)max=f(-1) f(x)min=f(2)

y'=9^x*ln9-m*3^x*ln3 y''=9^x*(ln9)^2-m*3^x*(ln3)^2 令y'=0得：m<=0时，y'>0，f(x)在R上单调上升，无最小值 m>0时，x=(lnm-ln2)/ln3 而此时 y''=9^x*(ln9)^2-m*3^x*(ln3)^2 =9^x*(ln9)^2-9^x*ln9*ln3(因y'=0，则9^x*ln9=m*3^x*ln3) =9^x*ln9*ln3>0 故取极小值，因只有一个极值，故也是最小值 代入即得最小值

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