函数的单调性 问题

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0，当x>0时f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·(b)。

（1）求证：f(0)=1

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数；

（4）若f(2x)·f(x^2-2x-1)>1，求x的取值范围。

虽然有四问，但只要重点详细回答第三问就可以了。

定义法，设X1>X2,所以X1等于X2加某个正数，到最后时F(那个正数)减一大于零，得证

1.f(1)=f(1)f(0),f(1)>0,f(0)=1

2.f(0)=f(x)f(-x)=1>0,且有当x>0时f(x)>1，所以对任意的x∈R，恒有f(x)>0

3.设x>y,f(x)-f(y)=f(x-y)f(y)-f(y)=f(y)(f(x-y)-1)

f(y)>0,x-y>0,f(x-y)>1，所以f(x)>f(y)，单调递增

4.由单调性知f(2x)·f(x^2-2x-1)>1等价于f(2x+x^2-2x-1)>f(0)

等价于2x+x^2-2x-1>0,x>1或者x<-1

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